Основания актуарных расчетов рисков профессиональных заболеваний. Г. В. Федорович (№2, 2013)

Основания актуарных расчетов рисков профессиональных заболеваний

Г.В.Федорович, ООО «НТМ-Защита», Москва

Введение.

Среди причин, вызывающих профессиональную патологию, лидирующую роль играют неудовлетворительные условия труда. В ряде отраслей промышленности до половины рабочих мест не соответствуют санитарно-гигиеническим нормативам по условиям труда. Утрата работником функциональной способности выполнять свои обязанности из-за профессионального заболевания (ПЗ) все чаще используется в качестве одного из пенсионных оснований. Страхование риска утраты трудоспособности занимает все более важную роль в пенсионных схемах. Страховым событием в этих схемах является ухудшение здоровья работника, приводящее к необходимости перевода его на работу с менее вредными условиями труда и выплате компенсаций утраченного заработка. Моментом наступления страхового события является констатация утраты здоровья, необходимого для выполнения профессиональных обязанностей. Это фиксируется экспертами при ежегодной диспансеризации.

Ясно, однако, что включению в правила пенсионной схемы обязательств по выплате пенсии в случае утраты трудоспособности, должно предшествовать серьезное актуарное обоснование основных параметров этой схемы, включая анализ и учет рисков инвалидности, потери заработной платы и т.д., повышающее надежность схемы. Следует заметить в этой связи, что с точки зрения актуария социальное страхование от профессиональных рисков значительно сложнее, чем, например, пенсионное страхование. Здесь необходимо использовать такие важные в актуарной практике характеристики, как общий и постажевый коэффициенты профзаболеваемости, ожидаемую продолжительность работы для лиц, доработавших до заданного стажа и т.д. Следует отметить, что структура данных существующей государственной статистической отчетности не удовлетворяет требованиям актуарного анализа. Дело в том, что, актуарное обоснование тарифов, определяющее величину затрат на досрочное пенсионное обеспечение, должно базироваться на зависимости вероятностных характеристик частоты утраты трудоспособности от стажа работы застрахованных работников во вредных и опасных условиях труда. Здесь существуют универсальные соотношения между скоростью ухода работников, их численностью и средним стажем работы до ухода. Адекватная страховая модель реализации профессиональных рисков может обеспечить выполнение принципа финансовой эквивалентности – соблюдения баланса страховых взносов страхователя и страховых выплат страховщика. Одновременно она позволяет оценить качество и достоверность исходных данных, отбраковать ошибочные.

1.Биометрические характеристики утраты трудоспособности.

Основным структурным элементом актуарных моделей (см. напр. [1]) является случайная величина: продолжительность жизни t, распределение которой описывается вероятностью n(t), или интенсивностью страховых событий m(t). Эти функции представляют основные биометрические характеристики динамики популяций [2]. В демографии для их обозначения используют термины «функция дожития» и «интенсивность/скорость смертности» соответственно. Связь между ними определяется формулой

(1)

Биометрическая функция

(2)

характеризует скорость уменьшения численности популяции в результате смерти особей в возрасте t . Применительно к расчетам риска утраты трудоспособности из-за работы во вредных условиях труда, под t следует понимать время, отсчитываемое от начала трудовой деятельности и рассматривать две составляющие численности: работающих n₀(t) и пенсионеров n₁(t) . Для первых время t совпадает с рабочим стажем, их численность определяется формулой (1), в которой интенсивность выбывания m(t) состоит из двух слагаемых: m₀(t) – интенсивности выхода на пенсию и m₁(t) – обычной демографической интенсивности смертности. Численность пенсионеров можно определить, если заметить, что сумма n(t) = n₀(t) + n₁(t) изменяется только за счет демографической смертности с интенсивностью m₁(t), т.е. она также определяется формулой (1) в которой m(t) заменяется на m₁(t). Эти соображения приводят к формулам:

(3)

(4)

По аналогии с функцией дожития в демографии, распределение (3) работающих по стажу можно назвать «функцией дорабатывания».

Наглядный смысл приведенным соотношениям можно придать, используя стохастический подход к анализу вероятностных характеристик профессионально обусловленной заболеваемости. Такой подход был предложен в работе [3], он позволил установить адекватную форму описания заболеваемости с временной утратой трудоспособности (ЗВУТ) в трудовых коллективах,. В качестве объекта моделирования рассматривался гомогенный коллектив, каждый член которого характеризуется одинаковыми для всех средними значениями физиологических переменных – вероятностями заболеть и выздороветь. Это позволило применить теорию марковских процессов к моделированию ЗВУТ. Использовалась цепь Маркова с двумя состояниями. В этой же статье было установлено, что аналогичное моделирование постоянной утраты работоспособности из-за ПЗ не приводит к новому содержанию описания. Ниже показано, что для такого моделирования эффективно использование более сложного процесса Маркова – случайных одномерных дискретных блужданий (см. напр.[4]).

2. Стохастическая модель утраты трудоспособности.

2.1. В настоящее время определение самого факта наступления страхового события предполагает проведение периодических (ежегодных) диспансеризаций работников. В ходе диспансеризации определяется степень утраты здоровья. Предполагается, что неблагоприятное воздействие вредных производственных факторов (ВПФ) выражается в накоплении функциональных изменений в состоянии работников. Степень выраженности таких изменений будет ниже описываться неким показателем физиологического состояния х . Конкретизация смысла показателя физиологического состояния х выходит за рамки настоящей статьи (и за границы компетентности автора), о нем не предполагается ничего, кроме того, что его рост со временем (возрастом, стажем) отражает ухудшение состояния здоровья за счет накопления неблагоприятных функциональных изменений в организме.

Изменения состояния х со временем можно описать как одномерное блуждание точки вдоль оси х со счетным числом состояний {x_j}. Будем полагать, что за некоторый интервал времени Δt возможны переходы из любого j-того состояния либо в два соседних состояния: j+1 или j-1 с вероятностями p и q соответственно, либо можно остаться в состоянии j с вероятностью 1-p-q . То же самое можно описать как приращение за время Δt номера состояния j на случайную величину Δ_j , которая может принимать значения 0 или ±1 с вероятностями

Р(Δ_j = 1) = р , Р(Δ_j = 0) = 1-p-q , Р(Δ_j = -1) = q . (5)

Вероятности p и q характеризуют возникновение и восстановление нарушений в физиологическом состоянии организма. С возрастом или под действием внешних неблагоприятных факторов показатель x растет - меняется в сторону ухудшения состояния организма за счет накопления в организме неблагоприятных функциональных изменений. Для отражения этой тенденции следует предполагать, что p > q .

Если начальная координата точки x₀ = 0, то через m шагов координата точки будет равна

(6)

Если через n и D обозначить среднее значение и дисперсию случайной величины Δ_j (на одном шаге), нетрудно видеть, что

n = p – q , D = p + q –(p – q)² (7)

Соответственно, среднее значение и дисперсия случайной величины х будут определяться формулами

<x_m> = m*n , D_x ≡ < (x - <x>)² > = m*D (8)

Вообще говоря, случайная величина x_m может принимать любые значения k = 0, ±1, ±2 … ±m (считаем координату x неограниченной в обе стороны). Чтобы координата х_m приобрела заданное значение k , точка должна сделать m₀ «нулевых» шагов, m₁ положительных и m₂ отрицательных, причем должно быть

m₁ - m₀ = k , m₀ = m – (m₁ + m₂) . (9)

Вероятность результата x_m = k определяется обобщенным биномиальным законом

(10)

где суммирование ведется по всем значениям m, удовлетворяющим условиям (9). Так как эта вероятность определяется суммой большого числа небольших слагаемых, для нее можно получить приближенное выражение, следующее из центральной предельной теоремы. Это плотность нормального распределения вероятности со средним значением mn и дисперсией mD:

(11)

Как и в работе [3] (и по тем же основаниям), перейдем от дискретных к непрерывным переменным, заменяя число шагов n на реальный стаж работы τ и дискретные значения x_m на непрерывный аргумент х . Имеем:

(12)

Функция (12) описывает эволюцию (по мере увеличения стажа τ) распределения вероятности показателя физиологического состояния х работника: смещение с постоянной скоростью n среднего значения показателя x в сторону ухудшения состояния работников за счет накопления в организме функциональных изменений и диффузионное расплывание первоначально узкого распределения. Графически случайные состоянияработника представлены точками

Приведенные данные учитывают прекращение отслеживания за состоянием работника после выхода на пенсию по стажу: при t > t₀ . Соответствующая граница изображена на рис.1 вертикальной линией при t/t₀ = 1 .

2.2. Для дальнейшего полезно иметь в виду, что (10) является функцией Грина для уравнения Смолуховского

(13)

Функция (12) сохраняет единичную нормировку:

(14)

Для того, чтобы описать возможные страховые случаи, приводящие к уменьшению интеграла (14) по мере увеличения стажа работы, в уравнение (13) следует включить член M*Р, описывающий выбывание работников из-за профессионально обусловленной инвалидности:

(15)

Коэффициент M(х) должен расти с ростом х, отражая реальный рост частоты страховых случаев по мере ухудшения состояния здоровья – накопления неблагоприятных функциональных изменений в организмах работников. На графике рис.1 такое выбывание соответствует попаданию изображающей точки в затененную зону при больших х . Интенсивность затенения отражает рост коэффициента M с увеличением х . В отличие от случая выбывания на пенсию по стажу, вероятность M(х) растет непрерывно с ростом показателя физиологического состояния здоровья х

Функция (12) не является решением уравнения (15). Для учета изменений Р(τ) из-за выбывания работников, будем искать решение (15) в виде

(16)

Проинтегрируем почленно уравнение (13) по переменной x . Учитывая нулевые условия на концах интервала интегрирования, получим уравнение для n(τ):

(17)

где обозначено

(18)

Решение уравнения (17) с начальным условием n(t=0) = n(0) дается формулой (1). Тем самым показано, что рассмотренная как цепь Маркова модель случайных блужданий вдоль оси показателя физиологического состояния х приводит к рутинному биометрическому описанию процесса утраты работниками трудоспособности с ростом стажа работы во вредных и опасных условиях труда.

2.3. Различные модельные зависимости роста частоты страховых случаев с ростом показателя физиологического состояния х (по мере ухудшения состояния здоровья), приводят к различным законам роста интенсивности страховых событий m(t) с ростом стажа работы τ . Например, экспоненциальная зависимость M(х) = m₀ *exp( x/x₀ ) приводит к закону Гомперца для интенсивности страховых событий:

m(τ) = m₀ *exp( τ/τ₁ ) (19)

где обозначено τ₁ ≡ x₀ /(v +D/x₀) .

Соответствующая функция n(τ), рассчитанная по формуле (1), представлена на графике рис.2 сплошной линией. Также, как и при построении графика на рис.1, учитывается выход работников на пенсию при достижении стажа ≈ 40 лет.

Определение биометрических характеристик частоты утраты трудоспособности от стажа работы во вредных и опасных условиях труда представляет собой первый и, пожалуй, самый важный шаг в актуарном обосновании тарифов, определяющих величину затрат на досрочное пенсионное обеспечение. Эти характеристики дают наиболее точное и адекватное описание ситуации с ПЗ как в отдельных коллективах, так и в отраслях промышленности и в стране в целом.

3.Свойства биометрических характеристик рисков профзаболеваний.

3.1.Проинтегрировав функцию (3) по всем возможным значениям стажа τ , можно определить численность N₀ коллектива, описываемого такой функцией дорабатывания:

 

(20)

Другой важной характеристикой является интегральная (по стажу) скорость выбывания dN₀/dt работников. В стабильном трудовой коллективе убыль численности работников за счет страховых событий компенсируется за счет приема на работу новых сотрудников. Функция n₀(τ) описывает трудовой коллектив в некоторый момент времени t. Если предположить, прекращение страховых событий в этот момент, то спустя некоторое время Δt функция n₀(τ) сдвинется вправо на величину Δt . Соответствующее распределение n₀(τ – Δt) представлено на графике рис. 2 пунктирной линией. Реально стабильность численности коллектива обеспечивается уходом из него работников, попавших в заштрихованную область на графике рис.2. Математически это можно выразить, записав количество работников, выбывших из коллектива за время Δt, следующим образом:

(21)

 

Разделив обе части этого соотношения на Δt, получим, что скорость ухода работников состоит из двух слагаемых:

(22)

Первое слагаемое определяет скорость ухода по инвалидности, второе – из-за достижения пенсионного стажа. По смыслу функции W(t), величину <t>, определяемую выражением

(23)

 

можно считать средним стажем ухода с работы по инвалидности.

Величины N₀ и (dN₀/dt)₁ обычно приводятся в статистических справочниках, а <t> несложно оценивается по статистическим данным о распределении ПЗ по времени контакта с ВПФ (см.напр.[3]). Это дает возможность определить «скрытые» параметры n₀(0) и n₀(t₀) :

(24)

(25)

Через n₀(0) и n₀(t₀) выражается практически важная характеристика условий труда – отношение R скорости ухода работников из-за ПЗ к скорости выхода на пенсию по стажу:

(26)

Если n₀(t₀) ≈ n₀(0) , то величина R значительно меньше 1 , т.е. почти все работники благополучно дорабатывают до пенсии, количество получивших ПЗ невелико. На картине случайных изменений показателя физиологического состояния работника представленной на рис.1 изображающие точки лежат ниже затененной области и в основном достигают границы t = t₀ . Такие условия труда можно назвать допустимыми.

В обратном случае, когда n₀(t₀) << n₀(0), основная часть работников не дорабатывает до пенсии, а уходит с работы, получив ПЗ. На картине представленной на рис.1 изображающие точки практически все уходят в затененную область, не достигая границы t = t₀ . При этом R >> 1, что, в свою очередь, свидетельствует о вредности условий труда. Используя соотношения (24) и (25), можем заключить, что в этом случае

(27)

Так как условия (26) и (27) связывают наблюдаемые параметры динамики трудовых коллективов, они могут быть непосредственно использованы для определения условий труда на реальном статистическом материале.

3. Рассмотрим с этой точки зрения данные за 2009 год по условиям труда и ПЗ в РФ, опубликованные в двух сборниках статистических материалов. В одном из этих сборников [5], авторы из ВНИИ ОиЭТ привели распределение обследованных рабочих мест (РМ) по классам условий труда (КУТ). Результаты получены при обследовании почти 10 тыс. организаций с количеством работников более 1 млн. человек на более 0,5 млн.рабочих мест. Данные по количеству N₀ РМ с определенным КУТ приведены в табл.1 (вторая строка). Результаты исследований распределения ПЗ по КУТ и времени контакта с ВПФ опубликованы в информационном сборнике Роспотребнадзора [6]. Общее количество ПЗ (dN₀/dt) зафиксированных в 2009 г. (за Δt = 1 год) для различных КУТ, также приведено в табл.1 (третья строка). В четвертой строке таблицы приведена биометрическая характеристика ПЗ, вычисленная по формуле (23), а в пятой – коэффициент R, определяющий относительную долю работников, уходящих на пенсию из-за ПЗ к тем, кто выходит на пенсию по стажу (предельный стаж работы ≈40 лет).

Видно, что для работы в условиях КУТ 1 и 2 из-за ПЗ на пенсию уходит незначительная доля (около 5%) работников– в основном они дорабатывают до пенсионного возраста. Вообще говоря, относить заболевания тех, кто работает в оптимальных и допустимых условиях к профессиональным нельзя. Действительно, по определению КУТ, данному в Руководстве [8], при работе в оптимальных условиях (КУТ 1) «сохраняется здоровье работника и … высокий уровень работоспособности». При работе в допустимых условиях (КУТ 2) «возможные изменения функционального состояния организма … не оказывают неблагоприятного действия в ближайшем и отдаленном периоде на состояние здоровья работника». Иными словами, если заболевание зафиксировано у тех, кто работает в условиях с КУТ 1 и 2, это означает, что либо КУТ был идентифицирован неверно, либо хронические заболевания общесоматической нозологии ошибочно отнесены к ПЗ. На этом основании данные для КУТ 1 и 2 можно рассматривать только как фоновые уровни заболеваний.

Для работы в условиях КУТ 3.1 отношение R скорости ухода работников из-за хронических заболеваний к скорости выхода на пенсию по стажу близко к половине (R = 0,51) , т.е. возрастает на порядок по сравнению с КУТ 1 и 2.

При дальнейшем ухудшении условий труда начинает выполняться условие (27), т.е. практически все работники не дорабатывают до пенсии, а уходят с работы, получив профзаболевание. В этом отношении условия с КУТ 3.2 и 3.3 практически не отличаются. Для работ с КУТ 3.4 рассчитанное количество < τ > *(dN₀/dt) работников, уходящих на пенсию из-за хронических ПЗ, существенно превышает количество рабочих мест. Причина такого расхождения не вполне ясна.

3.1.Проведем оценку страховых тарифов, покрывающих пенсионные выплаты работникам, вышедшим на пенсию из-за хронических ПЗ. Будем оценивать только нетто-тариф, без учета финансовых начислений (дисконтирование, сложные проценты и пр.), так как они определяются экономической политикой страховщика.

Предположим, что начисленная средняя зарплата работнику равна Q. Часть r из нее уплачивается в фонд пенсионного страхования, накопленная в нем сумма должна обеспечить выплату пенсий с коэффициентом замещения s (ниже принято s = 0,25). Используя обозначения разд.1, составим баланс поступления и расходования пенсионных денег:

(28)

Используя определения (3) и (4) функций дорабатывания n₀(t) и дожития n₁(τ) можно составить уравнение для определения величины r – страхового нетто-тарифа:

(29)

 

Интеграл в левой части этого уравнения равен N₀ – количеству работающих в условиях с определенным КУТ (см. строку 2 в табл.1). Интеграл в правой части равен тому количеству людей N₁, которые, поступив на работу, трудились бы в нормальных условиях (их численность определялась бы только демографической интенсивностью смертности m₁(t) ). Оценку N₁ можно получить, умножая скорость поступления dN₀/dt (третья строка в табл.1) на время дожития работников после поступления на работу с КУТ 1 или 2. Последнее можно оценить разностью Δτ между средней продолжительностью жизни (≈65 лет) и возрастом начала трудовой деятельности (≈20 лет). Итог:

r = s*(N₁/N₀ -1) (30)

 

Оценки величин N₁ и r для анализировавшихся выше условий КУТ 3.2 и 3.3 приведены в 6-й и 7-й строках табл.1. Видно, что нетто-тариф для таких условий труда составляет 21 – 25 %, что представляется вполне разумным.

Заключение.

Основные выводы из проделанной работы можно сформулировать следующим образом:

• Модель случайных блужданий, анализируемая методами теории цепей Маркова, приводит к рутинному биометрическому описанию распределения вероятности ПЗ в зависимости от стажа работы с ВПФ. Это открывает возможность определять такие важные в актуарной практике характеристики, как общий и постажевый коэффициенты профзаболеваемости, ожидаемую продолжительность работы для лиц, доработавших до заданного стажа t и т.д.
• Используемый подход позволил обнаружить универсальные соотношения между скоростью ухода работников, их численностью и средним стажем работы до ухода. С их помощью можно оценивать уровень ПЗ если установлен средний стаж работы до возникновения ПЗ. И наоборот : можно прогнозировать средний стаж по известному уровню ПЗ в коллективе.
• Несмотря на то, что модель случайных блужданий была использована , по существу, лишь для аппроксимации статистических данных о распределении частоты профессиональных заболеваний работников по времени контакта с ВПФ, она позволяет оценить качество и достоверность этих данных и отбраковать те из них, которые содержат ошибку либо в оценке КУТ, либо в данных о частоте диагностируемых ПЗ.
• Использование модели случайных блужданий для описания двухкомпонентной популяции – работников и пенсионеров – позволяет оценить величины страховых нетто-тарифов, обеспечивающих баланс поступлений и выплат фонда пенсионного страхования.